Zbiory

Zbiór, element zbioru jest pojęciem pierwotnym.
A, B, C,......- symbole zbiorów.
  a, b, c, ......- symbole elementów zbioru.
Î-symbol przynależności do zbioru .
  a Î A czytamy "a należy do zbioru A".
  b Ď B- czytamy " b nie należy ( nie jest elementem) zbioru B".

Zbiór często zapisujemy za pomocą nawiasów klamrowych { }

1. wypisując jego elementy np. A={ 1,3,5,6,7}

2. podając warunek, który muszą spełniać jego elementy : D = {x: x spełnia warunek W}

czytamy : D jest zbiorem tych elementów x, które spełniają warunek W.
Zbiorem pustym nazywamy zbiór, do którego nie należy żaden element i oznaczamy Ć.
Zbiór jest skończony, gdy istnieje taka liczba naturalna n, że ten zbiór ma n elementów.
Zbiór , który nie jest skończony nazywamy zbiorem  nieskończonym.
Zbiory A i B są równe wtedy i tylko wtedy , gdy każdy element zbioru  A należy do zbioru B i każdy element zbiory B należy do zbioru A.  Oznaczamy A= B.
 

Zbiór A zawiera się w zbiorze B, wtedy i tylko wtedy , gdy każdy element zbioru A jest elementem zbioru B. Oznaczamy A Ě B lub B É A

A Ě B Ű ( a Î A Ţ a Î B )

Jeśli  A Ě B, to mówimy , że zbiór A jest   podzbiorem zbioru B.

A Ë B oznacza, że zbiór A nie zawiera się w zbiorze B

 
Własności inkluzji zbiorów
  1. Ć Ě A
  2. A Ě A
  3. ( A Ě B Ů B Ě A ) Ţ A = B
  4. ( A Ě B Ů  B Ě C ) Ţ A Ě C
   
 

 

Działania na zbiorach
   
 

Działanie

Zapis symboliczny

Niektóre własności

suma zbiorów

A Č  B

Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do co najmniej jednego ze zbiorów A, B.

A Č B = { x: x Î A Ú x Î B }

 

A Č A = A

A Č Ć = A

iloczyn zbiorów

A Ç B

Iloczynem zbiorów (częścią wspólną ) A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i B.

A Ç B = { x: x Î A Ů  x Î B }

 

A Ç A = Ć

A Ç Ć = Ć

różnica zbiorów

A  \ B

Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów , które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B.

A \ B = { x: x Î A Ů x Ď B }

 

A \ A = Ć

A \  Ć = A

 
 

 
 

Interpretacja graficzna działań na zbiorach
 

 

 
                                                         
   

 
Zbiory A i B są rozłączne wtedy i tylko wtedy gdy, gdy nie mają żadnego wspólnego elementu, czyli  A Ç B = Ć.
 

W wielu zagadnieniach ograniczamy się do rozważania podzbiorów pewnego ustalonego zbioru nazywanego w tej sytuacji przestrzenią.

Dopełnieniem zbioru A do przestrzeni W , gdzie A Ě W nazywamy zbiór W \ A. Oznaczamy A'

A' = {x: x Î W  Ů x Ď A }
   
Własności dopełnienia zbioru

1. Ć' = W

2. W' = Ć

3. A Č A' = W

4. A Ç A'= Ć

5. ( A')' = A

6. A Ě B Ű B'Ě A'
 

Prawa rachunku zbiorów
   
 

przemienność sumy zbiorów

A Č B = B Č A

przemienność iloczynu zbiorów

A Ç B = B Ç A

łączność sumy zbiorów

( A Č B ) Č C = A Č ( B Č C )

łączność iloczynu zbiorów

( A Ç B ) Ç C = A Ç ( B Ç C )

prawa de Morgana dla zbiorów

( A Ç B )'= A' Č  B'

( A Č B )'= A' Ç  B'

rozdzielność iloczynu względem sumy zbiorów

A  Ç ( B Č  C ) = ( A Ç B ) Č ( A  Ç C )

rozdzielność sumy względem iloczynu zbiorów

( A Č B ) Ç C = ( A Č B )  Ç ( A  Č C )

wnioski z praw rozdzielczości

A  Č ( A  Ç B ) = A 

A Ç ( A Č B ) = A

 

 

Iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B nazywamy zbiór wszystkich par ( x , y) takich, że x Î A i  yÎ B  i oznaczamy A ´ B

A ´ B = { ( x ,y ): x Î A  Ů  y Î B }