Nowa strona 4

Trygonometria

Miarę kąta, w której kąt jednostkowy jest równy

kąta prostego. nazywamy miarą stopniową.

Miarę kąta jednostkowego w mierze stopniowej nazywamy stopniem oznaczamy 1⁰.

Jeden stopień to 60 minut czyli 1⁰=60'

Jedna minuta to 60 sekund 1'=60''

Mamy dowolny okrąg o środku znajdującym się w wierzchołku kąta a. Miarą łukową kąta a nazywamy stosunek długości l łuku okręgu , na którym oparty jest kąt, do promienia r tego okręgu.

Kątem jednostkowym w mierze łukowej jest kąt środkowy okręgu oparty na łuku o długości równej promieniowi okręgu.

Miarę kąta jednostkowego w mierze łukowej nazywamy radianem oznaczamy 1 rad ( często podając miarę łukową kąta pomija się skrót rad).

Związek między miarą stopniową i miarą łukową kąta. Niech a będzie miarą kąta wyrażoną w stopniach, zaś b - miarą tego samego kąta.

Wzór na zamianę radianów na stopnie:

Wzór na zamianę stopni na radiany:

1⁰=0,017453 rad

1 rad= 57⁰17'44''

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

a, b kąty ostre w trójkącie prostokątnym

c - przeciwprostokątna

a - przyprostokątna przeciwległa katowi a

b - przyprostokątna przyległa katowi a

Sinusem kąta ostrego a w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej temu kątowi do długości przeciwprostokątnej.

Cosinusem kąta ostrego a w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej temu kątowi do długości przeciwprostokątnej.

Tangensem kąta ostrego a w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej temu kątowi do długości drugiej przyprostokątnej.

Cotangensem kąta ostrego a w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej temu kątowi do długości drugiej przyprostokątnej.

Funkcje trygonometryczne kąta dowolnego

Niech a będzie dowolnym kątem skierowanym. W prostokątnym układzie współrzędnych XOY obieramy tak punkt O, aby był wierzchołkiem kąta a oraz początkowe ramie kąta zawierało się w dodatniej półosi osi OX. Na końcowym ramieniu kąta a wybierzmy dowolny punkt P=(x,y) różny od punktu O, a odległość punktu P od punktu O oznaczmy przez r (liczbę r nazywamy promieniem wodzącym punktu P). Funkcje trygonometryczne kąta a określamy w sposób następujący:



	gdy x ą 0
	gdy y ą 0

Wartości tak określonych funkcji trygonometrycznych nie zależą od wyboru punktu P na drugim ramieniu kąta.

Wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów

miara stopniowa	0⁰	30⁰	45⁰	60⁰	90⁰	180⁰	270⁰	360⁰
miara łukowa	0					p		2p
sin	0				1	0	-1	0
cos	1				0	-1	0	1
tg	0		1		X	0	X	0
ctg	X		1		0	X	0	X

Znaki funkcji trygonometrycznych

kąt funkcja	I ćwiartka aÎ(0⁰,90⁰)	II ćwiartka aÎ(90⁰, 180⁰)	III ćwiartka aÎ(180⁰,270⁰)	IV ćwiartka aÎ(270⁰,360⁰)
sin	+	+	-	-
cos	+	-	-	+
tg	+	-	+	-
ctg	+	-	+	-

Wybrane wzory redukcyjne

b=	90⁰-a	90⁰+a	180⁰-a	180⁰+a	270⁰-a	270⁰+a	360⁰-a
sinb=	cosa	cosa	sina	-sina	-cosa	-cosa	-sina
cosb=	sina	-sina	-cosa	-cosa	-sina	sina	cosa
tgb=	tga	-ctga	-tga	tga	ctga	-ctga	-tga
ctgb=	ctga	-tga	-ctga	ctga	tga	-tga	-ctga

Wykresy i własności funkcji trygonometrycznych

Sinusem liczby x Î R nazywamy sinus kąta, dla którego x jest miarą łukową. (podobnie określamy funkcje y = cosx, y = tgx, y= ctgx )

funkcja

dziedzina D_f

zbiór wartości

okres podst.

własności

y = sinx

<-1,1>

f. nieparzysta

sin(-x) = -sinx

funkcja

dziedzina D_f

zbiór wartości

okres podst.

własności

y = cosx

<-1,1>

f. parzysta

cos(-x) = cosx

funkcja

dziedzina D_f

zbiór wartości

okres podst.

własności

y = tgx

f. nieparzysta

tg(-x) = -tgx

funkcja

dziedzina D_f

zbiór wartości

okres podst.

własności

y = ctgx

R\{x: x = kp, k Î C

f. nieparzysta

ctg(-x)= - ctgx

Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta

sin²x+ cos²x=1 równość tę nazywamy jedynką trygonometryczną

dla cosx ą 0

dla sinx ą 0

tg x× ctg x = 1

Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy argumentów

sin(x + y)= sinx cosy + cosx siny

sin(x - y) = sinx cosy - cosx siny

cos(x + y)=cosx cosy - sinx siny

cos(x - y) = cosxcosy + sinxsiny

Funkcje trygonometryczne podwojonego argumentu

sin2x=2sinxcosx=

cos2x= cos²x- sin²x= 2cos²x-1=

tg2x=

ctg2x=

Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych

gdy cosx×cosy ą 0

gdy sinx×siny ą 0

gdy cosx×cosy ą 0

gdy sinx×siny ą 0

Równaniem trygonometrycznym nazywamy równanie, w którym niewiadoma występuje wyłącznie pod znakiem funkcji trygonometrycznej.

Rozwiązaniem ogólnym równania trygonometrycznego nazywamy zbiór wszystkich liczb spełniających dane równanie.

Podstawowe równania trygonometryczne

Równanie sinx= a ma rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy a Î <-1; 1>

Niech a Î <-1; 1> i niech x₀ będzie tym rozwiązaniem równania sin x = a, które należy do przedziału . Wówczas

sinx = a <=> x = x₀ + 2kp v x = p - x₀ + 2kp, gdzie kÎ C.

W szczególności:

sinx = 0 Ű x = kp gdzie k Î C

	sinx = -1 Ű x = - + 2kp gdzie kÎC
	sinx = 1 Ű x = + 2kp gdzie kÎC

Równanie cosx = a ma rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy a Î <-1; 1>.

Niech aÎ<--1; 1> i niech x₀ będzie tym rozwiązaniem równania cosx = a, które należy do przedziału <0; p>. Wówczas

cos x = a Ű x = x₀+ 2kp v x = x₀ + 2kp, gdzie kÎ C.

W szczególności:

x= + kp gdzie k Î C

cosx = -1 Ű x = p +2kp gdzie kÎ C

cosx = 1 Ű x = 2kp gdzie kÎ C

Równanie tgx = a, gdzie x ą

i k Î C, ma rozwiązania dla dowolnej liczby rzeczywistej a.

Niech x₀ będzie tym rozwiązaniem równania tg x = a, które należy do przedziału

. Wówczas

tgx = a Ű x= x₀ + kp gdzie k Î C

Równanie ctgx = a, gdzie x ą kp i k Î C ma rozwiązania dla dowolnej liczby rzeczywistej a

Niech x₀ będzie tym rozwiązaniem równania ctg x = a, które należy do przedziału (0; p ). Wówczas

ctgx = a Ű x = x₀ + kp gdzie k Î C.

Podstawowe nierówności trygonometryczne

Niech a Î (-1; 1) i niech x₀ będzie tym rozwiązaniem równania sin x = a, które należy do przedziału

. Wówczas

sinx > a Ű x Î (x₀ + 2kp; p - x₀ + 2kp), gdzie kÎ C

sinx < a Ű x Î (-p - x₀ + 2kp; x₀ + 2kp), gdzie kÎ C.

Niech a Î (-1; 1) i niech x₀ będzie tym rozwiązaniem równania cosx = a, które należy do przedziału <0; p>. Wówczas

cosx > a Ű x Î (-x₀ + 2kp; x₀ + 2kp), gdzie kÎC

cosx < a Ű x Î (x₀ + 2kp; 2p - x₀ + 2kp) gdzie kÎC.

Niech x₀ będzie tym rozwiązaniem równania tgx = a, które należy do przedziału

. Wówczas

tgx > a Ű x e (x₀ + kp;

+ kp), gdzie kÎC

tgx < a Ű x e (-

+ kp; x₀ + kp), gdzie kÎC.

Niech x₀ będzie tym rozwiązaniem równania ctg x = a, które należy do przedziału (0; p). Wówczas

ctgx > a Ű x Î (kp; x₀ + kp), gdzie kÎC

ctgx < a Ű x Î (x₀ + kp; p + kp), gdzie kÎ C.