|
|
|
|
Dlaczego wielościanów foremnych jest tylko 5? Oznaczmy: W - ilość wszystkich wierzchołków wielościanu, K - ilość jego wszystkich krawędzi, S - ilość ścian, zaś p = ilość krawędzi w jednej ścianie, zaś q = ilość krawędzi przy jednym wierzchołku. Oczywiście W>=4, S>=4, K>=6, p>=3, q>=3. Każda krawędź należy do dwóch ścian i łączy dwa wierzchołki. Stąd więc wynikają dwie zależności:
Sp=2K qW=2K
Stąd S= 2K/p, W = 2K/q, co podstawiając do równania Eulera S + W - K = 2 dla wielościanów daje zależność:
2K/q +2K/p - K = 2
która po podzieleniu stronami przez 2K daje równanie:
1/p +1/q= 1/2+ 1/K
Ono zaś oznacza, że 1/p + 1/q > 1/2. Ten związek nie spełniają dowolne liczby naturalne p i q. Wybierając wszystkie pary p>=3,q>=3 otrzymujemy tylko pary: (3,3), (3,4), (4,3), (3,5) i (5,3). Dla p >=6 lub q>=6 związek ten już nie zachodzi.
Podstawiając wyznaczone pary liczb (p,q) do wzorów na W, S i K otrzymujemy wartości określające pięć wielościanów foremnych.
 |
Czworościan
jest w przestrzeni trójwymiarowym wielościanem który
posiada najmniejszą ilość elementów dwuwymiarowych (ścian). Nazywamy go
simpleksem przestrzeni 3D, podobnie jak trójkąt jest simpleksem
płaszczyzny. W Starożytności czworościan był uosobieniem planet Jowisz i
żywiołu ognia. Aby skonstruować go w jakimkolwiek programie wystarczy znać współrzędne jego wierzchołków. Czworościan foremny można umieścić odpowiednio w sześcianie, co powoduje, że staje się on bardzo prosta bryłą do badania. |
 |
Ośmiościan foremny - w Starożytności odpowiednik planety Merkury i powietrza, jest o tyle ciekawy, że można go również odpowiednio umieścić w sześcianie, co daje możliwość szybkiego wyznaczenia współrzędnych jego wierzchołków a zatem stworzenia go w dowolnym programie komputerowym. Jest wielościanem dualnym do sześcianu. |
 |
Sześcian to najbardziej popularna bryła przestrzenna. Jest odpowiednikiem planety Saturn, ale z żywiołów odpowiada ziemi. W programie CABRI można utworzyć gotowy model wirtualny sześcianu, obracanego przez użytkownika tego programu przy pomocy dwóch "suwaków". W programach komputerowych ilustrujących wielościany sześcian jest bazą, na której można zbudować każdy inny wielościan jednorodny. W programie CABRI wszystkie wielościany są utworzone na bazie wirtualnego sześcianu i dlatego można je z powodzeniem obracać, co ułatwia ich badanie. |
 |
Dwunastościan
foremny związany jest z liczbą 12, która stanowi w matematyce bazę zegara
i kalendarza. Jego kartonowy model może posłużyć jako kalendarz przestrzenny. Dwunastościan foremny jest ściśle związany z dwudziestościanem foremnym i złotą liczbą, która pojawia się w nim z uwagi na fakt, ze ściany są pięciokątami foremnymi, które należą do tzw. pięciokątów złotych. Ich przekątne przecinają się w sposób złoty i ponadto każda z nich jest równoległa do odpowiedniego boku pięciokąta. Może z uwagi na groźny wygląd tej bryły była ona uosobieniem planety Mars, ale z żywiołów przypisano mu kosmos (wszechświat). |
 |
Dwudziestościan foremny można bardzo łatwo uzyskać z trzech złotych prostokątów odpowiednio splecionych ze sobą w przestrzeni. Bryła ta była uosobieniem planety Wenus. Jest dualna do dwunastościanu, co nie ma nic wspólnego z powiązaniem Wenus z Marsem... Można ją rozłożyć na pięciokątny antygraniastosłup i dwa pięciokątne ostrosłupy foremne. Należy ona również do innej klasy dziewięciu wypukłych wielościanów, zwanych deltościanami. |
Istnieje cykl zamknięty transformacji wielościanów platońskich w kolejności:
sześcian
czworościan
ośmiościan
dwudziestościan
dwunastościan
sześcian
Data aktualizacji 04-grudnia-2005
