WIELOŚCIANY JEDNORODNE

Wielościany jednorodne to rodzina wielościanów półforemnych, których ściany są wielokątami foremnymi niekoniecznie wypukłymi. Inaczej mówiąc są to wielościany zbudowane podobnie jak archimedesowskie, ale ich ściany są wklęsłe. Najczęściej takie ściany bywają wielokątami gwiaździstymi. Stąd też można je tworzyć z brył platońskich tworząc takie ich przekroje, w wyniku których powstaną wielokąty gwiaździste. Wielościanami jednorodnymi zajmowali się w XX wieku H.S.M. Coxeter, J.C.P. Miller, H.C. Higgins, J. Lesavre, R. Mercier i J. Skiling. Każdy z nich odkrył po kilkanaście z tych wielościanów. Dopiero w 1954 roku opublikowano listę 75 wielościanów jednorodnych (zwanych po angielsku Uniform Polyhedra).

Wielościany te nie są na ogół znane w Polsce. Jedyne publikacje zagraniczne w których wspomina się o tych wielościanach to „Polyhedra” Petera Cromwella oraz „Polyhedron Models” Magnusa J. Wenningera. Na świecie znajdują się podobno tylko trzy wystawy modeli tych wielościanów: w Nowym Yorku, w Londynie i w Kluczborku. Ta ostatnia była tworzona przez blisko dziesięć lat przez nauczyciela matematyki w LO w Kluczborku pana Piotra Pawlikowskiego. Autor tych modeli posłużył się programem komputerowym Stella, który generuje wygląd ścian każdego z tych wielościanów.

Wielościany jednorodne dzielą się na wielościany symetrii czworościennej, sześciennej i dwunastościennej. W 2006 roku moja studentka Uniwersytetu Rzeszowskiego - pani Agnieszka Krupa podjęła się w swojej pracy magisterskiej konstrukcji wielościanów symetrii sześciennej w programie CABRI 3D, oraz wykonania ich modeli. Jej praca była na tyle unikalna, że najpierw tworzyła Ona rzuty Monge'a każdego z nich, a następnie dokonując kładów na odpowiednie płaszczyzny przy pomocy cyrkla i linijki konstruowała pod moim kierunkiem siatki tych wielościanów. Praca zajęła blisko 150 stron dokładnego opisu sposobu powstawania każdego wielościanu i sposobu konstruowania ich siatek.

Niniejsza strona prezentuje wielościany symetrii sześciennej wzbogacone o moje autorskie komentarze. Wielościany wykonane są techniką cyrkla i linijki w programie CABRI 3D,
a ponieważ ich prezentacja w tym programie może narazić użytkownika Internetu na duże straty czasowe, wykonałem z nich gify animowane i w tej postaci zamieściłem na niniejszej stronie. Celowo też nie pomniejszałem ich, by oddać dobrze nieco skomplikowany nieraz ich wygląd.
Chciałbym zauważyć, że nazwy wielościanów jednorodnych pojawiają się w literaturze matematycznej w języku angielskim. Nie znam polskich ich odpowiedników, stąd też polskie nazwy które pojawiają się tutaj, są moim, w miarę wiernym tłumaczeniem ich nazw angielskich. Siatki tych brył stworzone w taki sposób, by mógł je wykonać każdy czytelnik, ukażą się niebawem drukiem. Wielkość rysunków na tej stronie w niedługim czasie zmniejszę. Wymaga to jednak pewnego nakładu czasu.

Ten wklęsły wielościan jednorodny jest wyraźnie wielościanem o symetrii ośmiościennej, gdyż z łatwością można go umieścić w ośmiościanie. Wyglądem swym przypomina archimedesowski sześcioośmiościan, w którym zagłębiono kwadratowe ściany, tworząc do jego wnętrza prawidłowe ostrosłupy czworokątne, stykające się swymi wierzchołkami w środku symetrii bryły. Na bryłę tę można spojrzeć również jak na deltościan, gdyż da się ją zbudować z trójkątów równobocznych. Poniższy gif animowany ilustruje sposób powstawania tego wielościanu z ośmiościanu foremnego.

Wielościan ten swym wyglądem przypomina ośmiowklęsły sześcioośmiościan, przy czym teraz otwarte są trójkątne ściany poprzedniej bryły a zamykają ją kwadraty, które w poprzedniej bryle stanowiły otwarte „lejki”. Wielościany mające taką własność nazywam bliźniaczymi Konstrukcje tej bryły rozpoczynamy podobnie jak dla jej bliźniaka od sześcioośmiościanu. Następnie zamykamy go kwadratowymi ścianami i wielościan gotowy.

Konstrukcja tego wielościanu w programie Cabri 3D, podobnie, jak kilku kolejnych wielościanów jednorodnych symetrii sześcienno-ośmiościennej bazuje na sześcianie, na którego ścianach wykreślone są ośmiokąty foremne. Ośmiokąty te przesuwamy w kierunku środka sześcianu tak, jak to przedstawia rysunek obok wielościanu. Ten ośmiokąt jest jedną ze ścian naszej bryły. Pozostałe można utworzyć w CABRI 3D poprzez odbicia jej w symetrii środkowej i odpowiednie obroty.

Ten wielościan zgodnie z przyjętą umową jest wielościanem bliźniaczym do wielościanu 03. Widać to wyraźnie na powyższej animacji. Dlatego też jego konstrukcja w programie CABRI 3D jest bardzo zbliżona do poprzedniej. Zamykamy ją kwadratowymi ścianami. Ma ona tym razem 18 ścian dwojakiego rodzaju: 12 kwadratowych i 6 ośmiokątnych. Z ośmiokątnych widzimy tylko pięć ich segmentów (w kształcie wiatraczka).

Wielościan ten odkrył Johannes Kepler i nazwał go wielościanem koronkowym (albo kłosowym), gdyż ramiona jego gwiaździstych form przybierają kształt korony. Zwróćmy uwagę, że jego wszystkie ściany są ośmiokątami gwiaździstymi, wyciętymi z kwadratu. Ściany te są wzajemnie prostopadłe. Można je utworzyć w CABRI 3D dokonując kolejno obrotów jednej z nich o 90 wokół odpowiednich osi przechodzących przez środki ścian pewnego sześcianu, w którym można umieścić ten wielościan.

Wielościan te tworzymy nieco inaczej niż poprzednie wielościany. Tworzymy po dwa ośmiookątne równoległe przekroje sześcianu w odległościach 1/3 i 2/3 od jego ścian, a następnie poszukujemy punktów wspólnych tych przekrojów. Tworzą
one wklęsłe otwory o róznych kształtach tworząc bardzomiładla oka bryłę.