CZWOROKĄT A KOŁO
 

Czy w każdy czworokąt da się wpisać i czy na każdym czworokącie da się opisać okrąg?  W poniższych konstrukcjach spróbuj zmieniać położenie wierzchołków czworokąta ABCD i obserwuj, czy faktycznie tak jest.

Jak widać, eksperyment ten pokazuje, że nie zawsze da się to zrobić. Zanim zajmiemy się dokładnie tym problemem, zauważmy, że jeśli do danego okręgu z punktu P leżącego poza kołem tego okręgu poprowadzimy styczne, to odcinki PS' oraz PS'' poprowadzone od punktu P do punktów styczności S' i S'' są zawsze tej samej długości. W poniższej konstrukcji poruszaj punktem P i obserwuj długości odpowiednich odcinków.

Przy okazji zauważmy, co można odkryć, gdy z punktu P poprowadzimy dowolną sieczną, przecinającą okrąg w punktach A i B. Ta miarowa własność może być odkryta po zmierzeniu długości odcinków PS', PS'', oraz PA i PB. W poniższej konstrukcji możemy zmieniać położenie punktu P i porównywać iloczyn PA·PB oraz kwadrat długości odcinka PS'. Poruszaj punktem B i obserwuj odpowiednie wyniki.

Odkrywamy tym sposobem twierdzenie:

Jeżeli z punktu poza kołem poprowadzimy styczne i dowolną sieczną, to kwadrat długości odcinka łączącego ten punkt z punktami styczności jest iloczynem długości odcinków poprowadzonych z punktu P do każdego z punktów przecięcia tych siecznych z okręgiem, czyli PS = PA × PB

Wykonajmy konstrukcję CABRI polegającą  na dobudowaniu na bazie wierzchołka A trzech pozostałych wierzchołków B, C i D czworokąta opisanego na tym okręgu.  Poprowadźmy z punktu A styczne AS' i AS'', na jednej z nich obierzmy dowolny punkt B, a na drugiej punkt D.  Wierzchołek C znajdziemy z przecięcia stycznej do okręgu poprowadzonej z punktu B  ze styczną  poprowadzoną z punktu C - patrz poniższa konstrukcja. Poruszaj dowolnym wierzchołkiem czworokąta i obserwuj, które z nich można opisać na okręgu.

Z twierdzenia o odcinkach łączących punkt z punktami styczności okręgu wynika, że:

 AB + CD = a+b+c+d     oraz    AD + BC = a+b+c+d.

Oznacza, to że AB + CD  = AD + BC.

Odkryliśmy tym samym twierdzenie:
Warunkiem na to, by w czworokąt dało się wpisać okrąg jest, by suma długości przeciwległych jego boków była taka sama.

Podobnie spróbujmy znaleźć warunek na to, by na czworokącie można było opisać okrąg. Zwróć uwagę na miary zaznaczonych w konstrukcji kątów. Przez dualność do poprzedniego problemu spróbuj samodzielnie sformułować odpowiednie twierdzenie.

Wracając do konstrukcji okręgu wpisanego w czworokąt można dany czworokąt podzielić na cztery trójkąty, których wysokość jest równa długości promienia okręgu wpisanego. Pole czworokąta wynosi zatem: Spróbuj podobnie wyznaczyć pole trójkąta, znając promień okręgu w niego wpisanego.