HYPOZYKLOIDE VON STEINER

      Dieses Problem ist ein Fragment meines Büchleins „Entdeckungen der Dreieck Geometrie mit dem Cabri” als Problem nr 51. Das ist ihre Inhalt: 

 Es sei Dreieck ABC und Punkt P. Wir konstruieren senkrechte Projektion der Punkt P an die Gerade AB, AC und BC. Wir bekommen neue drei Punkte P’ P” P”’, welche die Ecken eines Dreieck sind - fig. 55. 

 In besondern Stellung der Punkt P kann man bemerken, daß die Punkte P’, P”, P”’ liegen an eine Gerade - fig. 56. Wann ist es so? In diesen Zweck mit dem Hilfe Zug - Modus konstruiere ich eine Kurve, welche der Punkt P zeichnet in dem Fall, in welchem P’ P” und P”’ an die Gerade liegen. Diese Kurve ist ein umbeschriebener Kreis im Dreieck ABC - fig. 57.  

 Es sei H der Ortocentrum des Dreiecks. Die Gerade P’ P” kreuzt der Strecke HP im Mittelpunkt. Die Gerade P’P” nennt man Simson Gerade oder projektion Gerade für Punkt P (english: pedal line). 

 Wenn ich den Punkt P an umbeschriebenen Kreis umkehre, Simson-Gerade dreht sich um 360 Grad. In jedem Moment ist diese Gerade Tangent für eine Kurve. Diese Kurve kann man mit  Hilfe Cabri-Programm zeigen. Aber ich zeige ihr zuerst mit Hilfe des bulgarischen Computer- Programms „Geomland”. Diese Kurve heißt Steinersche Hypozykloide - fig. 58. 

 Mit der Hilfe Cabri Programm kann ich sie ebenso wie Ableitungskurven konstruieren. Zu diesem Zweck neben der Zeichnung konstruiere ich beliebiegen Winkel da (fig. 59). Für den Punkt P konstruiere ich Punkt P’ so Winkelmaß des Winkels P’OP ist gleich dem Winkelmaß da. Die Kreuzung Simson - Gerade für Punkt P und P’ zeichnet Steinersche - Hypozykloide - fig. 60. 

Es sei Q den Bild in zentrale Symmetrie in Bezug auf Punkt O für den Punkt P. Konstruieren wir Simson Gerade für Punkt Q. Die beiden Gerade „p” und „q” kreuzen sich im Punkt X,  welcher Eulers Kreis für Dreieck AB.

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Die Bearbeitung: Bronisław Pabich

Der Seite wirs im August den 1998 Jahre gebaut.

Date der letzte Aktualization 26.01.2005